1985年，為了拯救當(dāng)時(shí)出現(xiàn)故障的蘇聯(lián)空間站禮炮七號(hào)，派出了兩名宇航員進(jìn)行搶修。在完成任務(wù)之后，其中一名宇航員賈尼別科夫打開(kāi)了從地球帶來(lái)的物資。這些物資是用一個(gè)翼型螺母鎖緊的，當(dāng)這個(gè)螺母被松開(kāi)并繼續(xù)在空間站漂浮旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，賈尼別科夫發(fā)現(xiàn)它會(huì)周期性地掉轉(zhuǎn)180度。后來(lái)，這個(gè)現(xiàn)象被稱為賈尼別科夫效應(yīng)。

事實(shí)上，我們?cè)诘厍蛏弦材苤噩F(xiàn)該效應(yīng)。以網(wǎng)球拍為例，我們?nèi)藶榈亟o它設(shè)定三個(gè)相互垂直的主軸：一是沿著把柄的主軸，二是垂直于把柄并在網(wǎng)的平面內(nèi)的主軸，三是垂直于把柄和網(wǎng)的主軸。當(dāng)我們讓網(wǎng)球拍繞著一或三主軸旋轉(zhuǎn)并把它拋入空中時(shí)，拍子的旋轉(zhuǎn)是穩(wěn)定的，它只會(huì)繞著初始軸旋轉(zhuǎn)。當(dāng)我們讓網(wǎng)球拍繞二主軸旋轉(zhuǎn)并拋入空中時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，最后會(huì)演變成繞著三個(gè)軸旋轉(zhuǎn)。所以，賈尼別科夫效應(yīng)又叫作網(wǎng)球拍效應(yīng)或中間軸效應(yīng)。

在1991年的時(shí)候，一篇公開(kāi)發(fā)表的文章才解釋了這種效應(yīng)。我也看過(guò)一些解釋這種效應(yīng)的科普文章和視頻，他們要么用純文字進(jìn)行解釋，要么直接給出歐拉動(dòng)力學(xué)方程的結(jié)果進(jìn)行解釋。今天，我們從推導(dǎo)歐拉動(dòng)力學(xué)方程開(kāi)始，逐步給出這種效應(yīng)的解釋。

歐拉動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)

首先，我們要知道力矩和角動(dòng)量的關(guān)系。如果你已經(jīng)忘了，那么我們可以回想一下力和動(dòng)量的關(guān)系：力等于動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。同樣，力矩等于角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

等式的左邊是力矩M，我們可以直接寫(xiě)出它的分量形式。

等式的右邊是角動(dòng)量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，雖然它計(jì)算比較復(fù)雜，但我們?nèi)匀豢梢詫?xiě)出分量形式。

接下來(lái)這里有一個(gè)問(wèn)題，后三項(xiàng)是基本矢量隨時(shí)間的變化，它們?nèi)Q于我們所取的坐標(biāo)系。在這里，我們所取的是剛體坐標(biāo)系。在剛體坐標(biāo)系下，基本矢量是隨著剛體的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，所以基本矢量隨時(shí)間的變化就是角速度ω叉乘這個(gè)基本矢量。如果還不明白，可以想想高中時(shí)是怎么推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)的加速度。

根據(jù)矢量叉乘的法則，最后一項(xiàng)我們可以寫(xiě)成以下形式。

現(xiàn)在，整個(gè)式子變得非常復(fù)雜，但是如果我們代入角動(dòng)量、角速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系，式子就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。在慣量主軸下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不會(huì)隨著旋轉(zhuǎn)變化，我們有以下關(guān)系：

把它代入上面的式子，最終我們會(huì)得出這樣的結(jié)果：

最后，我們讓每個(gè)分量的力矩和每個(gè)分量的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)相等，就得到著名的歐拉動(dòng)力學(xué)方程。

網(wǎng)球拍效應(yīng)解釋

解釋網(wǎng)球拍效應(yīng)一個(gè)很重要的點(diǎn)是理論與現(xiàn)實(shí)的差距。理論上，我們可以讓網(wǎng)球拍繞任何一個(gè)軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，而繞另外兩個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度永遠(yuǎn)是零。但現(xiàn)實(shí)中，我們無(wú)法做到這一點(diǎn)，總是會(huì)有一些擾動(dòng)破壞這種理想狀態(tài)。現(xiàn)在，我們要研究的是，給了微小擾動(dòng)之后，這個(gè)擾動(dòng)會(huì)不會(huì)被放大。

我們假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1>轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2>轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3，并且網(wǎng)球拍拋到空中后沒(méi)有任何力矩。首先研究繞主軸1旋轉(zhuǎn)的情況，此時(shí)ω1恒定，它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)也基本為零，而ω2和ω3受到擾動(dòng)而出現(xiàn)微小的角速度?，F(xiàn)在，對(duì)歐拉動(dòng)力學(xué)方程的第二個(gè)方程求導(dǎo)，并把第三個(gè)方程代入其中，我們可以得到：

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小，我們可以知道k<0，是我們很熟悉的波動(dòng)方程，微小的擾動(dòng)成正弦變化不會(huì)被放大，因此繞主軸1旋轉(zhuǎn)是穩(wěn)定的。同樣的道理，我們也可以得出繞主軸3的轉(zhuǎn)動(dòng)是穩(wěn)定的，這里就不再計(jì)算。

但是，當(dāng)繞主軸2旋轉(zhuǎn)時(shí)，同樣的道理我們可以得到：

此時(shí)，我們知道k>0，因此擾動(dòng)會(huì)被放大，角速度會(huì)增加。也就是說(shuō)繞主軸2的轉(zhuǎn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，一個(gè)小擾動(dòng)就會(huì)使網(wǎng)球拍發(fā)生翻轉(zhuǎn)。